近年来,Trefftz有限元法因兼有传统有限法和边界元法的诸多优点而备受关注,其最早可追溯到1926年Trefftz对Laplace方程的求解.1977年Jirousek等[1]在对薄板体弯曲问题的研究中正式提出杂交Trefftz有限元法(HT-FEM).与传统有限元法不同,杂交Trefftz有限元法采用双位移场插值模式,即单元域内场和辅助网线场.单元域内场采用控制方程的齐次解构建形函数,使得非常稀疏网格和相对少量自由度情况下仍能获得高精度解.此外,仅含边界积分的有限元格式显著提高了Trefftz单元的抗畸变能力.目前,Trefftz有限元法已成功应用于位势问题[2]、平面弹性问题[3]、接触问题[4-5]、轴对称问题[6-8]和复合材料问题[9-12].

汽轮机、火箭、航空发动机等装备中的机械结构常由于工作温度变化引起热荷载和机械荷载双重作用,对其进行热弹性分析十分重要.一般热弹性问题中温度场和变形场是耦合的,从数学角度讲热弹性问题是非齐次方程求解问题.借助Trefftz有限元法求解时,作为体力项的温度荷载会添加域积分到单元刚度方程中,使得杂交基本解有限元法仅含边界积分的优势消失.继区域离散法、双重互易法之后,特解法作为消除域积分的有效方法之一,由Qin等[13]引入到杂交Trefftz有限元法中.此后,Wang等[14]应用径向基函数获得特解研究正交各向异性位势问题;Wang等[15]用特解法求解极小曲面问题;刘博等[16]应用特解法分析轴对称Poisson方程问题的求解;Zhou等[6-8]利用基本解构造单元域内插值函数,提出杂交基本解有限元法(HFS-FEM),并分析轴对称位势问题以及轴对称弹性力学问题.本文基于杂交基本解有限元格式分析热弹性问题,通过应用特解法以消除其中的域积分.

1 控制方程及特解理论

1.1 控制方程和边界条件

线弹性问题的控制方程可写成

式中:u为位移;bi为非齐次项;λ和μ分别为拉梅常数和剪切弹性模量.逗号表示求导,i,j=x,y,z为笛卡尔空间直角坐标系的3个维度.考虑边界条件为

式中:t为表面力;Γ=Γu∪Γt,Γu∩Γt=?;Γ为求解域Ω的边界;Γu和Γt分别为Dirichlet边界条件和Neumann边界条件,变量上方横线表示给定值.

在边界条件(2)和(3)下,式(1)的解可表达为齐次解和特解的叠加形式.其中,齐次解uh满足

相应的边界条件修改为

式中:和分别为位移和表面力的特解;上标h和p分别为齐次解和特解.

特解不受边界条件限制,只需满足关系式

1.2 离心载荷下的特解

为分析轴对称问题,首先在笛卡尔直角坐标系下给出离心力分量并求出相应位移特解,然后转化为圆柱坐标系下的特解形式.

假设轴对称物体绕z轴以角速度ω旋转,且物体密度为ρ,则体力b分量可写成

文献[14]分析了控制方程(1)的特解形式,本文给出笛卡尔空间直角坐标系下一个特解为

将式(9)转化为圆柱坐标系下形式,则位移分量特解可写成

1.3 温度荷载下的特解

单独温度荷载下,控制方程(1)中非齐次项可写成

将式(11)代入式(1)中,可得到位移分量表示的热弹性平衡微分方程为

其中

式中:α为热膨胀系数;T为温度.

式(12)的特解可通过热弹性位移势函数Φ(x,y,z)确定.该函数满足关系式

一旦找到符合条件的热弹性位移势,则位移特解可由式(14)计算得到.为获得上述热弹性位移势,将式(14)代入式(12),化简后得到热弹性位移势与温度场的关系式为

式(15)为标准Poisson方程形式.若温度场已知,根据式(14)和(15)即可求出位移特解,进而通过位移应变关系和本构关系求出应力特解.需要注意的是,若温度场位移势为简单函数形式,热弹性位移势可通过式(15)直接获得解析式.若温度场解析解比较复杂甚至不存在,则需采用近似函数(如径向基函数或多项式函数)求解近似热弹性位移势[16].

2 杂交基本解Trefftz有限元格式

2.1 双位移场插值模式

杂交基本解有限元法采用双位移场插值模式,如图1所示.单元域内场插值函数通过精确满足控制方程的截断完备解或基本解来构造,而辅助网线场用以保证单元间的连续性,其插值函数采用常规方法建立.

图1 轴对称体与8节点环状单元Fig.1 Axisymmetric body and 8-node annular element

由于控制方程是非齐次的,单元域内场需将特解考虑进去,可写成

式中:下标e代表单元内变量.辅助网线场不受非齐次项影响,其特解部分包含在单元节点自由度列阵de中,可写成