轴对称问题广泛存在于工程实践中，但获得复杂几何形状和边界条件轴对称问题的精确解不容易。尤其在考虑体力效应之后，控制方程因含非齐次项，使求解更加复杂，只能借助数值方法如有限元法、边界元法获得近似解。1977年，Jirousek和Leon[1]首次提出杂交Trefftz有限元法(HT-FEM)并成功应用于薄板体弯曲问题。与传统有限元法相比，Trefftz有限元法表现出良好的网格畸变免疫性，稀疏网格也能达到理想精度等优点。目前，该方法已经解决了位势[2]、平面弹性[3]、接触[4-5]、复合材料[6]和轴对称等问题[7]。近期，周俊臣等利用杂交基本解有限元法(HFS-FEM)分析了轴对称位势问题[8]以及轴对称弹性力学问题[9]291。虽然HFS-FEM采用基本解构造单元域内插值函数，但本质上与HT-FEM基本思想相同。这2种Trefftz型有限元法处理齐次控制方程非常便捷，相应单元刚度方程仅涉及边界积分，使得原问题降维。然而，当考虑体力时，弹性力学控制方程引入了非齐次项，这导致单元刚度方程出现域积分，Trefftz型单元的优势不复存在。一般常采用域离散化法、双重互易法[10]以及特解法[11]等来消除域积分。特解法是随着边界元法发展起来的。后来，秦庆华和王辉[12]将其引入到Trefftz有限元法中。特解法理论清晰、易于理解和数值实现，在处理含体力的物理问题中备受关注。王克用等[13]采用径向基函数求得特解表达式分析了正交各向异性位势问题。王辉等[14]用特解法讨论了极小曲面问题。刘博等[15]分析了轴对称Poisson方程问题。课题组基于杂交基本解有限元模型对含体力的轴对称弹性力学问题进行了研究。

1理论

1.1控制方程

各向同性的线弹性力学问题的控制方程如下：

式中：ui为位移;bi为体力;λ和μ分别为拉梅常数和剪切弹性模量;逗号表示求导，i,j=x,y,z表示空间笛卡尔坐标系的3个维度。

此外，考虑Dirichlet边界条件和Neumann边界条件(在Γu上):

式中：Γ=Γu∪Γt,Γu∩Γt=?,Γ为求解域Ω的边界，Γu和Γt分别表示Dirichlet边界条件和Neumann边界条件，字母上横线表示已知边界值。

控制方程(1)满足边界条件式(2)和(3)的位移解可写成齐次解和特解两部分的线性叠加。其中，齐次解uh应满足

此时，式(4)应满足如下边界条件：

式中:up和tp分别为位移和面力的特解，且位移特解应满足：

式中:上标h和p分别代表齐次解和特解。

一旦求出位移特解应力特解可由位移与应变关系及本构关系导得。这里需要提及的是，满足式(7)的特解与原边界条件无关且不唯一。

1.2重力载荷下对应的位移特解

在笛卡尔直角坐标系下，假设重力沿z轴负方向分布，则体力分量可写成：

式中:ρ为弹性体密度;g为重力加速度。

设ν为泊松比，则根据文献[16]，其空间直角坐标系下的特解为:

对于图1所示的轴对称体，式(9)采用圆柱坐标系(r,θ，z)表示：

图1 轴对称体及其8节点环形单元Figure 1 Axisymmetric body and 8-node annular element

1.3离心载荷下对应的位移特解

同样地，在笛卡尔直角坐标系下，考虑回转体绕轴z以角速度ω旋转，回转体的密度为ρ，那么体力分量可写成:

对于式(11)所示的离心力，Timoshenko和Goodier[17]讨论过相应的位移特解,这里给出其中1个特解：

同理，在圆柱坐标系下，式(12)转化成：

2杂交基本解有限元列式

2.1双位移场插值模式

与传统有限元法相比，杂交基本解有限元法最大的不同在于采用了双位移场插值模式：单元域内场和辅助网线场，如图1所示。单元域内场通过精确满足控制方程的截断完备解或基本解来构造插值函数；而辅助网线场是用来保证单元间的连续性，其插值函数采用常规方法建立。由于控制方程是非齐次的，单元域内场需将特解考虑进去，即：

且有辅助网线场不受非齐次项的影响，其特解部分自然包含在单元节点自由度列阵de中:

式中：下标e代表单个单元；为基本解表示的域内插值函数矩阵[18];ce为待定系数列阵;～表示单元边界(网线)的变量。

域内插值函数矩阵Ne需满足齐次控制方程

式中L为微分算子矩阵，且有

D为弹性矩阵，且

式中：

由弹性力学位移与应变关系及本构关系可知，相应应力可写成微分算子形式：