0 前言

激光焊接过程与传统的焊接过程相比优点较多。由于局部热源的强度高，产生了不均匀的瞬态温度场。焊接时激光辐射区域的材料快速热膨胀，随后再进行热收缩。

诱导温度梯度的程度和利用热变形约束节点的程度决定着焊件最终冷时的残余状态，它既有内部平衡的残余应力又有焊接变形。焊缝连接中残余应力和焊接变形贯穿于凝固的焊缝金属区和热影响区。准确估计一个焊件的疲劳寿命时，残余应力的大小及分布均在考虑范围内。经计算和模拟，利用实验结果验证过的数学模型现已成熟，大量数据表明：对激光焊接物理学的深刻理解，其可靠的扩展过程非常适用于现代工业应用要求，对工艺参数的优化减少了相应成本的投入。

本研究的主要目标是提出广义解析模型用于预测激光焊接中焊缝连接的温度分布、峰值温度、冷却速度及热循环。

1 激光辐射工件时的热流传导方程

在激光焊接过程中,可以通过三种方式（传导、对流、辐射）使热量从材料的一部分传送到另一部分。如果热量通过激烈的粒子实际运动传送，那么这个过程被认为是可信服的，并且在液体和气体中更加明显。辐射可以使热量不经过必要的介质而直接从材料表面转移到周围环境当中。

本研究中所用到的变量如表1所示。

表1 变量及其定义变量pE P Qg=H/K▽α=K/ρs?T/?t x，y，z ξ，y，z h Ux r K0（χ）e Tp y Tm定义单位表面积的热流或热流率常数、导热系数（单位：W/mm-1·K-1）垂直热流的横截面面积（单位：mm2）高出周围环境的温度数（单位：K）环境温度（单位：K）与辐射点距离相关的温度梯度（单位：K/mm）介质密度（单位：Kg/m3）物体的质量（单位：kg）物体体积（单位：m3）物体的比热容（单位：J/Kg·K-1）表面辐射功率工件的周长（单位：mm）在工件内部产热率（单位：W/mm2）拉普拉斯算符工件的热扩散率移动坐标系中温度的时间变化速度（单位：K/s）原点的坐标系“O”使用原点“O”的转换坐标系工件的板块厚度（单位：mm）横轴方向的焊接速度（单位：mm/s）热源周围的圆柱体半径（单位：mm）二阶过零的修正贝塞尔函数自然指数（2.）距熔合边界距离为y时的峰值温度（单位：K）工件表面距熔合边界的距离（单位：mm）工件的熔点（单位：K）

当激光束辐照在金属板上开始产生热能时,表面的分子以更高振幅振动（动能）并将热能从一个粒子转移到另一个没有实际运动的粒子，称之为传导。

根据傅立叶热传导的第一定律，在矩形金属板中

因此，金属板任意两点间距离为δx时，每秒传送的热量为

达到稳态之前，热量Q通过两种方式被利用。一部分热量通过升高金属板的温度而被利用，剩余的部分则因辐射而丢失。每秒用于升高金属板温度的热量=质量×比热容×温度升高速率

由于辐射，每秒从金属板表面丢失的热量为

式中 E为表面辐射率；P为周长；T为超过金属板固定距离的任意两点间的平均温度。

为了获得温度场分布的时间函数，考虑用到控制量，如图1所示。

图1 热量控制量

考虑到能量守恒定律，控制量的每单位体积内能变化速率被认为是内发热，是热量H与导热系数K之比。其必须等于通过表面单位面积的净热流速率与内部单位体积的热源或沉降（如化学反应或流动）两者的总和。

因此，微分元件间的热平衡可以阐明导热率与内产热之和等于热对流加热辐射。

或者

就笛卡尔坐标而言，三维空间内沿矩形金属板走形的直线热流为

一个更紧凑的形式

▽2是拉普拉斯算子。

热扩散系数或温度传导率a定义为导热率与每单位体积热容量的比值

在稳态热流的情况下，式（7）可减缩成如下方程式

式（9）被称为拉普拉斯算子转换方程。

在瞬态热传导的情况下,假设材料表面不受热流影响，并在x轴和y轴以及独立的z轴（实际上z轴没有热流，它垂直于物体表面激光束射入的方向）方向上有任意的温度。在这种假设下

因此，式（7）可简化为

上面的表达式根据笛卡尔坐标简化为沿矩形金属板走行的直线热流二维方程。在这个简化的集中参数中能量平衡的出现能够快速估计一个给定的激光焊接过程所需要的能量。这个微分方程及其相关边界条件可以使用分析或数值方法（如有限差分、有限元或控制体积方法）来解决。